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terça-feira, 11 de junho de 2019

Grigori Perelman, o gênio que resolveu um dos maiores problemas matemáticos do milênio e ‘sumiu do mapa’

https://www.bbc.com/portuguese/geral-48521904

sexta-feira, 31 de maio de 2019

Cosseno e Seno de 2pi/5 e pi/5

Por um lado, a equação \[\cos{\left( 2 \theta\right) }=\cos{\left( 3 \theta\right) }\] tem solução \[\theta=\frac{2 k \pi}{5},\;\mbox{para }k\in\mathbb{Z}.\] Para $k=0$, temos $\theta=0$, para $k=1$, temos $\dfrac{2\pi}{5}$ e para $k=2$, temos $\dfrac{4\pi}{5}$.

Por outro lado, usando que \[\cos{\left( 2 \theta\right) }=2 {{\cos{(\theta)}}^{2}}-1\] e \[\cos{\left( 3 \theta\right) }={{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)} {{\sin{(\theta)}}^{2}}=4 {{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)},\] a equação original é equivalente a \[2 {{\cos{(\theta)}}^{2}}-1= 4{{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)}.\] Fazendo a mudança de varável $x=\cos(\theta)$ obtemos a equação polinomial \[4 {{x}^{3}}-2 {{x}^{2}}-3 x+1=0.\] Como $\theta=0$ corresponde a $x=1$, sabemos que $x=1$ é uma solução dessa equação e assim dividindo essa equação por $x-1$ obtemos a equação \[4 {{x}^{2}}+2 x-1=0,\] que tem raízes \[x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}.\] O $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ corresponde a raiz positiva e $\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$ corresponde a raiz negativa. Assim, \[\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\quad\mbox{e}\quad \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}.\] Como, $\dfrac{\pi}{5}=\pi-\dfrac{4\pi}{5}$, então \[\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.\]

Como $\sin{(\theta)}=\sqrt{1-{{\cos{(\theta)}}^{2}}}$, então \[\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4} \quad\mbox{e}\quad \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{2 \sqrt{5}+10}}{4}.\]

Meus agradecimentos a Igor Moreno Santos pela revisão.

quarta-feira, 20 de setembro de 2017

Cinemática Inversa de Braço Robótico Planar com duas Juntas Rotacionais

Considere um braço robótico planar com duas juntas rotacionais com elos de comprimento $a_1$ e $a_2$. Dada a posição do ponto final do braço $X=(x,y)$ mostramos como determinar o ângulo $\theta_1$, que o o primeiro elo (de comprimento $a_1$) faz com eixo $\textsf{x}$ e o ângulo $\theta_2$, que o segundo elo (de comprimento $a_2$) faz com o primeiro elo.
Veja o vídeo em https://youtu.be/inSzWXAbM8Q
Veja o texto completo em Cinemática Inversa de Braço Robótico Planar com duas Juntas Rotacionais
Veja um braço robótico em ação em https://youtu.be/8bPXmVMZYbA.
Clique e arraste os pontos vermelhos.

Arco tangente 2

Dado um ponto $X=(x,y)\ne(0,0)$, se chamamos de $\theta$ o ângulo entre $\stackrel{\longrightarrow}{OX}=(x,y)$ e o eixo x temos que $$ r=\sqrt{x^2+y^2},\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\,\sen\theta. $$ Para determinarmos o ângulo $\theta$ não podemos usar nem o arco cosseno, nem as outras funções trigonométricas inversas convencionais, pois o resultado da aplicação de arco seno e arco tangente será um ângulo entre $-\pi/2$ e $\pi/2$ e de arco cosseno e arco cotangente será um ângulo entre $0$ e $\pi$. Por isso, usamos a função arco tangente 2, que está implementada em várias linguagens de programação e é definida para $(x,y)\ne(0,0)$ por $$\mbox{atan2}(y,x)=\begin{cases} \atan(y/x),&\mbox{ se }x>0,\\ \atan(y/x)+\pi,&\mbox{ se }x<0 \mbox{ e } y\ge 0,\\ \atan(y/x)-\pi,&\mbox{ se }x<0 \mbox{ e } y<0,\\ \pi/2,&\mbox{ se }x=0 \mbox{ e } y>0,\\ -\pi/2,&\mbox{ se }x=0 \mbox{ e } y<0.\\ \end{cases} $$ Dado um ponto $X=(x,y)\ne(0,0)$, a função arco tangente 2 (atan2) fornece o ângulo entre o vetor $\stackrel{\longrightarrow}{OX}=(x,y)$ e o eixo x. A imagem da função arco tangente 2 é o intervalo $(-\pi,\pi]$.
Veja no applet abaixo a diferença entre o arco tangente e o arco tangente 2. Clique e arraste o ponto vermelho para modificá-lo.

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