Arco tangente 2

Dado um ponto $X=(x,y)\ne(0,0)$, se chamamos de $\theta$ o ângulo entre $\stackrel{\longrightarrow}{OX}=(x,y)$ e o eixo x temos que $$ r=\sqrt{x^2+y^2},\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\,\sen\theta. $$ Para determinarmos o ângulo $\theta$ não podemos usar nem o arco cosseno, nem as outras funções trigonométricas inversas convencionais, pois o resultado da aplicação de arco seno e arco tangente será um ângulo entre $-\pi/2$ e $\pi/2$ e de arco cosseno e arco cotangente será um ângulo entre $0$ e $\pi$. Por isso, usamos a função arco tangente 2, que está implementada em várias linguagens de programação e é definida para $(x,y)\ne(0,0)$ por $$\mbox{atan2}(y,x)=\begin{cases} \atan(y/x),&\mbox{ se }x>0,\\ \atan(y/x)+\pi,&\mbox{ se }x<0 \mbox{ e } y\ge 0,\\ \atan(y/x)-\pi,&\mbox{ se }x<0 \mbox{ e } y<0,\\ \pi/2,&\mbox{ se }x=0 \mbox{ e } y>0,\\ -\pi/2,&\mbox{ se }x=0 \mbox{ e } y<0.\\ \end{cases} $$ Dado um ponto $X=(x,y)\ne(0,0)$, a função arco tangente 2 (atan2) fornece o ângulo entre o vetor $\stackrel{\longrightarrow}{OX}=(x,y)$ e o eixo x. A imagem da função arco tangente 2 é o intervalo $(-\pi,\pi]$.
Veja no applet abaixo a diferença entre o arco tangente e o arco tangente 2. Clique e arraste o ponto vermelho para modificá-lo.