Cosseno e Seno de 2pi/5 e pi/5

Por um lado, a equação

$$\cos{\left( 2 \theta\right) }=\cos{\left( 3 \theta\right) }$$ tem solução $$\theta=\frac{2 k \pi}{5},\;\mbox{para }k\in\mathbb{Z}.$$ Para $k=0$, temos $\theta=0$, para $k=1$, temos $\dfrac{2\pi}{5}$ e para $k=2$, temos $\dfrac{4\pi}{5}$.

Por outro lado, usando que

$$\cos{\left( 2 \theta\right) }=2 {{\cos{(\theta)}}^{2}}-1$$ e $$\cos{\left( 3 \theta\right) }={{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)} {{\sin{(\theta)}}^{2}}=4 {{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)},$$ a equação original é equivalente a $$2 {{\cos{(\theta)}}^{2}}-1= 4{{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)}.$$ Fazendo a mudança de varável $x=\cos(\theta)$ obtemos a equação polinomial $$4 {{x}^{3}}-2 {{x}^{2}}-3 x+1=0.$$ Como $\theta=0$ corresponde a $x=1$, sabemos que $x=1$ é uma solução dessa equação e assim dividindo essa equação por $x-1$ obtemos a equação $$4 {{x}^{2}}+2 x-1=0,$$ que tem raízes $$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}.$$ O $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ corresponde a raiz positiva e $\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$ corresponde a raiz negativa. Assim, $$\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\quad\mbox{e}\quad \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}.$$ Como, $\dfrac{\pi}{5}=\pi-\dfrac{4\pi}{5}$, então $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$$

Como $\sin{(\theta)}=\sqrt{1-{{\cos{(\theta)}}^{2}}}$, então

$$\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4} \quad\mbox{e}\quad \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{2 \sqrt{5}+10}}{4}.$$

Meus agradecimentos a Igor Moreno Santos pela revisão.