Como é que o Google Googla

• O processo descrito no vídeo é uma cadeia de Markov (subseções 1.1.3, 1.2.4, 6.1.4 do livro "Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear - Reginaldo J. Santos").
  
• A matriz de transição no vídeo é
  \[A=\begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{1}{2} & 1\\ \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 0 & 0\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.\]
• O sistema linear resolvido no vídeo é
  \[AX=X \iff (A-I)X=\bar{0}, \]
  que tem infinitas soluções, mas só tem uma em que a soma das componentes é igual a 1.

Mathematicians Have Discovered an Entirely New Way to Multiply Large Numbers

https://www.sciencealert.com/mathematicians-have-discovered-an-astonishing-new-way-to-multiply-large-numbers

Movimento de um Corpo sujeito somente à Força Gravitacional

https://www.dropbox.com/s/6yz9ih9y5lwlg0v/movgravidade.pdf?dl=0

Equações Polinomiais de Terceiro Grau

https://www.dropbox.com/s/s49z4sjjw3ouvpw/eqpoli3grau.pdf?dl=0

Qual é a capacidade de aprendizado de uma máquina?

https://impa.br/noticias/qual-e-a-capacidade-de-aprendizado-de-uma-maquina/

Após 65 anos, matemáticos finalmente solucionam 'enigma da soma dos três cubos'

Veja mais em https://www.uol.com.br/tilt/ultimas-noticias/bbc/2019/09/13/apos-65-anos-matematicos-finalmente-solucionam-enigma-da-soma-dos-tres-cubo.htm

Paradoxes, From Your Coffee to Calculus

https://www.wsj.com/articles/paradoxes-from-your-coffee-to-calculus-1532532886

Construção de um Pentágono Regular

Sejam $V_1=(\cos\theta,\sin\theta)$ e $V_2=(1,0)$. Então, \[ l_1=||V_1-V_2||=||(\cos\theta-1,\sin\theta)||=\sqrt{2-2\cos\theta}. \] No caso do lado de um pentágono regular, $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ e $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ calculamos em outro post. Logo, \[l_1=\sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{5}}=\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\sqrt{\frac{{5-\sqrt{5}}}{{2}}}.\]

Seja $W_1$ o vetor que liga o ponto $(1/2,0)$ ao ponto $(0,1)$. Então $W_1=(-1/2,1)$. Seja $W_2$ o vetor paralelo ao eixo $x$, sentido contrário ao eixo $x$ e comprimento igual ao comprimento de $W_1$. Ou seja, $W_2=(-||W_1||,0)=(-\frac{\sqrt{5}}{2},0)$. Então, \[l_2=||W_1-W_2||=||(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1)||=\sqrt{\frac{{5-\sqrt{5}}}{{2}}}.\]

Estudo busca entender matemática e mecânica por trás do tricô

https://internacional.estadao.com.br/noticias/nytiw,estudo-busca-entender-matematica-e-mecanica-por-tras-do-trico,70002843342

Matemático da USP recebe R$ 1 milhão para desvendar redes complexas como o cérebro

https://g1.globo.com/sp/sao-carlos-regiao/noticia/2019/05/28/matematico-da-usp-recebe-r-1-milhao-para-desvendar-redes-complexas-como-o-cerebro.ghtml

A desigualdade no cinema expressa pela matemática

https://brasil.elpais.com/brasil/2019/06/04/ciencia/1559633333_149583.html

Grigori Perelman, o gênio que resolveu um dos maiores problemas matemáticos do milênio e ‘sumiu do mapa’

https://www.bbc.com/portuguese/geral-48521904

Cosseno e Seno de 2pi/5 e pi/5

Por um lado, a equação \[\cos{\left( 2 \theta\right) }=\cos{\left( 3 \theta\right) }\] tem solução \[\theta=\frac{2 k \pi}{5},\;\mbox{para }k\in\mathbb{Z}.\] Para $k=0$, temos $\theta=0$, para $k=1$, temos \(\dfrac{2\pi}{5}\) e para $k=2$, temos \(\dfrac{4\pi}{5}\).

Por outro lado, usando que \[\cos{\left( 2 \theta\right) }=2 {{\cos{(\theta)}}^{2}}-1\] e \[\cos{\left( 3 \theta\right) }={{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)} {{\sin{(\theta)}}^{2}}=4 {{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)},\] a equação original é equivalente a \[2 {{\cos{(\theta)}}^{2}}-1= 4{{\cos{(\theta)}}^{3}}-3 \cos{(\theta)}.\] Fazendo a mudança de varável \(x=\cos(\theta)\) obtemos a equação polinomial \[4 {{x}^{3}}-2 {{x}^{2}}-3 x+1=0.\] Como $\theta=0$ corresponde a $x=1$, sabemos que $x=1$ é uma solução dessa equação e assim dividindo essa equação por $x-1$ obtemos a equação \[4 {{x}^{2}}+2 x-1=0,\] que tem raízes \[x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}.\] O \(\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)\) corresponde a raiz positiva e \(\cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)\) corresponde a raiz negativa. Assim, \[\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\quad\mbox{e}\quad \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}.\] Como, \(\dfrac{\pi}{5}=\pi-\dfrac{4\pi}{5}\), então \[\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.\]

Como \(\sin{(\theta)}=\sqrt{1-{{\cos{(\theta)}}^{2}}}\), então \[\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4} \quad\mbox{e}\quad \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{2 \sqrt{5}+10}}{4}.\]

Meus agradecimentos a Igor Moreno Santos pela revisão.