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sexta-feira, 18 de outubro de 2019

Como é que o Google Googla

  • O processo descrito no vídeo é uma cadeia de Markov (subseções 1.1.3, 1.2.4, 6.1.4 do livro "Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear - Reginaldo J. Santos").
  • A matriz de transição no vídeo é
    A=(00121130001312001312120).
  • O sistema linear resolvido no vídeo é
    AX=X(AI)X=ˉ0,

    que tem infinitas soluções, mas só tem uma em que a soma das componentes é igual a 1.

quinta-feira, 11 de julho de 2019

Construção de um Pentágono Regular

Sejam V1=(cosθ,sinθ) e V2=(1,0). Então, l1=||V1V2||=||(cosθ1,sinθ)||=22cosθ.
No caso do lado de um pentágono regular, θ=2π5 e cos2π5 calculamos em outro post. Logo, l1=22cos2π5=2512=552.
Seja W1 o vetor que liga o ponto (1/2,0) ao ponto (0,1). Então W1=(1/2,1). Seja W2 o vetor paralelo ao eixo x, sentido contrário ao eixo x e comprimento igual ao comprimento de W1. Ou seja, W2=(||W1||,0)=(52,0). Então, l2=||W1W2||=||(1+52,1)||=552.

sexta-feira, 31 de maio de 2019

Cosseno e Seno de 2pi/5 e pi/5

Por um lado, a equação cos(2θ)=cos(3θ)

tem solução θ=2kπ5,para kZ.
Para k=0, temos θ=0, para k=1, temos 2π5 e para k=2, temos 4π5.

Por outro lado, usando que cos(2θ)=2cos(θ)21

e cos(3θ)=cos(θ)33cos(θ)sin(θ)2=4cos(θ)33cos(θ),
a equação original é equivalente a 2cos(θ)21=4cos(θ)33cos(θ).
Fazendo a mudança de varável x=cos(θ) obtemos a equação polinomial 4x32x23x+1=0.
Como θ=0 corresponde a x=1, sabemos que x=1 é uma solução dessa equação e assim dividindo essa equação por x1 obtemos a equação 4x2+2x1=0,
que tem raízes x1,2=1±54.
O cos(2π5) corresponde a raiz positiva e cos(4π5) corresponde a raiz negativa. Assim, cos(2π5)=514ecos(4π5)=5+14.
Como, π5=π4π5, então cos(π5)=cos(4π5)=1+54.

Como sin(θ)=1cos(θ)2, então sin(π5)=10254esin(2π5)=25+104.

Meus agradecimentos a Igor Moreno Santos pela revisão.