Cinemática Inversa de Braço Robótico Planar com duas Juntas Rotacionais

Considere um braço robótico planar com duas juntas rotacionais com elos de comprimento $a_1$ e $a_2$. Dada a posição do ponto final do braço $X=(x,y)$ mostramos como determinar o ângulo $\theta_1$, que o o primeiro elo (de comprimento $a_1$) faz com eixo $\textsf{x}$ e o ângulo $\theta_2$, que o segundo elo (de comprimento $a_2$) faz com o primeiro elo.
Veja o vídeo em https://youtu.be/inSzWXAbM8Q
Veja o texto completo em Cinemática Inversa de Braço Robótico Planar com duas Juntas Rotacionais
Veja um braço robótico em ação em https://youtu.be/8bPXmVMZYbA.
Clique e arraste os pontos vermelhos.

Arco tangente 2

Dado um ponto $X=(x,y)\ne(0,0)$, se chamamos de $\theta$ o ângulo entre $\stackrel{\longrightarrow}{OX}=(x,y)$ e o eixo x temos que $$ r=\sqrt{x^2+y^2},\quad x=r\cos\theta,\quad y=r\,\sen\theta. $$ Para determinarmos o ângulo $\theta$ não podemos usar nem o arco cosseno, nem as outras funções trigonométricas inversas convencionais, pois o resultado da aplicação de arco seno e arco tangente será um ângulo entre $-\pi/2$ e $\pi/2$ e de arco cosseno e arco cotangente será um ângulo entre $0$ e $\pi$. Por isso, usamos a função arco tangente 2, que está implementada em várias linguagens de programação e é definida para $(x,y)\ne(0,0)$ por $$\mbox{atan2}(y,x)=\begin{cases} \atan(y/x),&\mbox{ se }x>0,\\ \atan(y/x)+\pi,&\mbox{ se }x<0 \mbox{ e } y\ge 0,\\ \atan(y/x)-\pi,&\mbox{ se }x<0 \mbox{ e } y<0,\\ \pi/2,&\mbox{ se }x=0 \mbox{ e } y>0,\\ -\pi/2,&\mbox{ se }x=0 \mbox{ e } y<0.\\ \end{cases} $$ Dado um ponto $X=(x,y)\ne(0,0)$, a função arco tangente 2 (atan2) fornece o ângulo entre o vetor $\stackrel{\longrightarrow}{OX}=(x,y)$ e o eixo x. A imagem da função arco tangente 2 é o intervalo $(-\pi,\pi]$.
Veja no applet abaixo a diferença entre o arco tangente e o arco tangente 2. Clique e arraste o ponto vermelho para modificá-lo.