O IPTU 2021 de Belo Horizonte pode ser pago em 11 parcelas, de fevereiro a dezembro.
A Prefeitura está oferecendo um desconto \(d=6 \) % no IPTU 2021, nas parcelas (a partir de duas) que forem pagas em janeiro.
Qual é a taxa de juros que está embutida neste desconto?
Suponha que o IPTU de um imóvel é igual a 11 parcelas de R$ 100.
Vamos supor que optamos pelo pagamento integral com desconto. Neste caso, o valor pago seria R$ 1034.
Este é o valor do IPTU em janeiro.
Vamos supor que optamos pelo adiantamento de 10 parcelas. Neste caso pagamos em janeiro R$ 940. Assim, ficamos com uma dívida de R$ 1034 menos R$ 940. Ou seja, de R$ 94, que será paga em fevereiro com o valor de R$ 100. Ou seja,
\[ 94(1+j_1)=100 \text{ ou }100(1+j_1)^{-1}=94. \]
Logo, a taxa de juros embutida neste caso é
\[j_1=\frac{100}{94}-1\approx 6.4\, \%.\]
Vamos supor que optamos pelo adiantamento de 9 parcelas. Neste caso pagamos em janeiro R$ 846. Assim, ficamos com uma dívida de R$ 1034 menos R$ 846, que é igual a R$ 188, que será paga em fevereiro e em março com o valor de R$ 100 cada. A cota de fevereiro, vale em janeiro \(100(1+j)^{-1}\). A cota de março, vale em janeiro \(100(1+j)^{-2}\). Assim,
\[100(1+j)^{-1}+100(1+j)^{-2}=188. \]
Ou seja,
\[ 188(1+j)^2-100(1+j)-100=0 \]
Tomando a raiz positiva desta equação do segundo grau obtemos que a taxa de juros embutida neste caso é
\[j_2=\frac{5 \sqrt{213}+25}{94}-1\approx 4.3\, \%.\]
Vamos supor, agora, que aplicamos R$ 1034 em janeiro, a uma taxa de juros mensal \(j\), de forma que a cada mês (de fevereiro a dezembro) resgatemos R$ 100.
O valor da segunda cota em fevereiro, corresponde em janeiro a \(100(1+j)^{-1}\). O valor da terceira cota em março, corresponde em janeiro a \(100(1+j)^{-2}\).
Assim por diante, o valor da décima primeira cota em dezembro, corresponde em janeiro a \(100(1+j)^{-11}\). Logo,
\[ 100(1+j)^{-1}+100(1+j)^{-2}+\cdots+100(1+j)^{-11}=1034. \]
O lado esquerdo é uma progressão geométrica. Usando a fórmula para a sua soma obtemos
\[100\frac{1-(1+j)^{-11}}{j}=1034. \]
Precisamos usar um método iterativo para encontrar uma solução aproximada desta equação.
Escrevemos uma página iterativa que faz isso. (https://regijs.github.io/topicos/calcju.html).
Encontramos então que a taxa de juros embutida neste caso é
\[j_{11} \approx 1.05\, \%\]
A conclusão é que se o contribuinte não puder pagar o valor integral com desconto em janeiro, é melhor pagar as 11 parcelas de fevereiro a dezembro.
