IPVA 2021

O governo de Minas Gerais está oferecendo um desconto de 3 % para o pagamento do IPVA em cota única em janeiro. Qual é a taxa de juros que está embutida neste desconto?

Suponha que o IPVA de um veículo seja de R$ 300 para pagamento em três parcelas. Ao optarmos por pagar em cota única pagaríamos R$ 291. Estaríamos adiantando a segunda e a terceira parcelas.

Suponha que aplicamos em janeiro o valor da cota única (R$ 291) menos o valor da primeira cota (R$ 100) de forma a resgatar em fevereiro, a segunda cota (R$ 100) e em março, a terceira cota (R$ 100). O valor da segunda cota em fevereiro, corresponde em janeiro a $100(1+j)^{-1}$. O valor da terceira cota em março, corresponde em janeiro a $100(1+j)^{-2}$. Então, $$100(1+j)^{-1}+100(1+j)^{-2}=291-100.$$

Ou seja, $$191 (1+j)^2-100(1+j)-100=0.$$ Tomando a raiz positiva desta equação do segundo grau obtemos que a taxa de juros embutida no pagamento em três parcelas é $$j=\frac{10\sqrt{216}+50}{191}-1\approx 3.1\, \%.$$

IPTU 2021

O IPTU 2021 de Belo Horizonte pode ser pago em 11 parcelas, de fevereiro a dezembro. A Prefeitura está oferecendo um desconto $d=6$ % no IPTU 2021, nas parcelas (a partir de duas) que forem pagas em janeiro. Qual é a taxa de juros que está embutida neste desconto?

Suponha que o IPTU de um imóvel é igual a 11 parcelas de R$ 100. Vamos supor que optamos pelo pagamento integral com desconto. Neste caso, o valor pago seria R$ 1034. Este é o valor do IPTU em janeiro.

Vamos supor que optamos pelo adiantamento de 10 parcelas. Neste caso pagamos em janeiro R$ 940. Assim, ficamos com uma dívida de R$ 1034 menos R$ 940. Ou seja, de R$ 94, que será paga em fevereiro com o valor de R$ 100. Ou seja, $$94(1+j_1)=100 \text{ ou }100(1+j_1)^{-1}=94.$$ Logo, a taxa de juros embutida neste caso é $$j_1=\frac{100}{94}-1\approx 6.4\, \%.$$

Vamos supor que optamos pelo adiantamento de 9 parcelas. Neste caso pagamos em janeiro R$ 846. Assim, ficamos com uma dívida de R$ 1034 menos R$ 846, que é igual a R$ 188, que será paga em fevereiro e em março com o valor de R$ 100 cada. A cota de fevereiro, vale em janeiro $100(1+j)^{-1}$. A cota de março, vale em janeiro $100(1+j)^{-2}$. Assim, $$100(1+j)^{-1}+100(1+j)^{-2}=188.$$

Ou seja, $$188(1+j)^2-100(1+j)-100=0$$

Tomando a raiz positiva desta equação do segundo grau obtemos que a taxa de juros embutida neste caso é $$j_2=\frac{5 \sqrt{213}+25}{94}-1\approx 4.3\, \%.$$

Vamos supor, agora, que aplicamos R$ 1034 em janeiro, a uma taxa de juros mensal $j$, de forma que a cada mês (de fevereiro a dezembro) resgatemos R$ 100. O valor da segunda cota em fevereiro, corresponde em janeiro a $100(1+j)^{-1}$. O valor da terceira cota em março, corresponde em janeiro a $100(1+j)^{-2}$. Assim por diante, o valor da décima primeira cota em dezembro, corresponde em janeiro a $100(1+j)^{-11}$. Logo, $$100(1+j)^{-1}+100(1+j)^{-2}+\cdots+100(1+j)^{-11}=1034.$$

O lado esquerdo é uma progressão geométrica. Usando a fórmula para a sua soma obtemos $$100\frac{1-(1+j)^{-11}}{j}=1034.$$

Precisamos usar um método iterativo para encontrar uma solução aproximada desta equação. Escrevemos uma página iterativa que faz isso. (https://regijs.github.io/topicos/calcju.html). Encontramos então que a taxa de juros embutida neste caso é $$j_{11} \approx 1.05\, \%$$

A conclusão é que se o contribuinte não puder pagar o valor integral com desconto em janeiro, é melhor pagar as 11 parcelas de fevereiro a dezembro.