Paradoxes, From Your Coffee to Calculus

https://www.wsj.com/articles/paradoxes-from-your-coffee-to-calculus-1532532886

Construção de um Pentágono Regular

Sejam $V_1=(\cos\theta,\sin\theta)$ e $V_2=(1,0)$. Então, \[ l_1=||V_1-V_2||=||(\cos\theta-1,\sin\theta)||=\sqrt{2-2\cos\theta}. \] No caso do lado de um pentágono regular, $\theta=\dfrac{2\pi}{5}$ e $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ calculamos em outro post. Logo, \[l_1=\sqrt{2-2\cos\frac{2\pi}{5}}=\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\sqrt{\frac{{5-\sqrt{5}}}{{2}}}.\]

Seja $W_1$ o vetor que liga o ponto $(1/2,0)$ ao ponto $(0,1)$. Então $W_1=(-1/2,1)$. Seja $W_2$ o vetor paralelo ao eixo $x$, sentido contrário ao eixo $x$ e comprimento igual ao comprimento de $W_1$. Ou seja, $W_2=(-||W_1||,0)=(-\frac{\sqrt{5}}{2},0)$. Então, \[l_2=||W_1-W_2||=||(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1)||=\sqrt{\frac{{5-\sqrt{5}}}{{2}}}.\]