Aplicação de Transformada de Fourier 1

Resolva a equação diferencial a seguir usando a transformada de
Fourier
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\alpha u,\quad x\in\mathbb{R}.$$
Aqui $\alpha$ é uma constante positiva.

Resolução:


Aplicando-se a transformada de Fourier em relação à variável $x$ na
equação diferencial obtemos
$$\frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2}(\omega,t)=-a^2\omega^2\hat{u}(\omega,t)-\alpha\hat{u}(\omega,t).$$
Resolvendo esta equação diferencial obtemos que
$$\begin{eqnarray*} \hat{u}(\omega,t) &=& \hat{\phi}(\omega)e^{-i\sqrt{a^2\omega^2+\alpha}\; t}+\hat{\psi}(\omega)e^{+i\sqrt{a^2\omega^2+\alpha}\; t} \\ &=& \hat{\phi}(\omega)e^{-if(\omega) t}+\hat{\psi}(\omega)e^{+if(\omega) t} \end{eqnarray*}$$
em que $f(\omega)=\sqrt{a^2\omega^2+\alpha}.$

Sejam $\hat{k_1}(\omega,t)=e^{-itf(\omega)}$ e $\hat{k_2}(\omega,t)=e^{+itf(\omega)}$. Então
$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty\phi(y)k_1(y-x,t)dy+ \int_{-\infty}^\infty\psi(y)k_2(y-x,t)dy\right)$$